Monthly Archives: March 2014

การแปลงวงจรการต่อตัวต้านทานจากรูปแบบเดลต้า(Delta)ไปเป็นวงจรรูปแบบวาย(Wye)

สวัสดีครับนักศึกษา พบกันอีกครั้งนะครับ ครั้งนี้อาจารย์จะได้นำเสนอการแปลงวงจรความต้านทานจากรูปสามเหลี่ยมหรือที่เรียกว่า เดลต้า (Delta) แปลงไปเป็นวงจรการต่อความต้านทานแบบวาย (Wye หรือ Y) ที่เรามักพบบ่อยมากในวิชา ฟิสิกส์ 2 สำหรับวิศวกร และในวิชา การวิเคราะห์วงจรอิเล็กทรอนิกส์ ด้วยครับ

ในบางสถานการณ์ตัวต้านทานไม่ได้ต่อกันแบบง่ายๆทั้งในแบบอนุกรม (Series) หรือแบบขนาน(Parallel) ทำให้การหาความต้านทานรวม R_{eq} มีความยุ่งยากมาก ความต้านทานที่ต่อกันลักษณะนี้ในบางช่วงของวงจรมักจะเป็นรูปเดลต้า  ดังนั้น เพื่อที่จะหาความต้านทานรวมให้ได้ จึงต้องแปลงความต้านทานจากรูป \Delta ไปเป็นรูป  Y ให้ได้ จะทำให้การหาความต้านทานรวมมีความสะดวกและง่ายมากครับ

wye3

รูปที่ 1 แสดงวงจรการต่อความต้านทานที่สมมูลกันระหว่างวงจรรูป \Delta และรูปตัว  Y

ในเบื้องต้นให้นักศึกษาจำสูตรการแปลงไปใช้งานก่อนครับ จาก รูปที่ 1 จะได้การแปลงความต้านทานจากรูปแบบ \Delta  ไปเป็นรูปแบบ Y คือ

R_{1}=\Large{\frac{R_{y}R_{z}}{R_{x}+R_{y}+R_{z}}}               (1)

 R_{2}=\Large{\frac{R_{z}R_{x}}{R_{x}+R_{y}+R_{z}}}               (2)

R_{3}=\Large{\frac{R_{x}R_{y}}{R_{x}+R_{y}+R_{z}}}               (3)

 ตัวอย่างที่ 1 จงพิสูจน์ที่มาของสมการ(1),  (2) และ (3)

วิธีทำ เพื่อความสะดวกในการวิเคราะห์หรือพิสูจน์ วงจรความต้านทานของรูปที่ 1 สามารถเขียนได้ใหม่ ดังรูปที่ 2 ดังนี้

wyeR1

รูปที่ 2 จากรูปที่ 1 จุดปลายทั้ง 3 มุม สามารถเขียนเส้นออกมาจากจุดปลายได้ใหม่จำนวน 4 จุด (จุด 1,2,3 และ 4) ของวงจรแต่ละรูปที่สมมูลกันระหว่างรูป \Delta และ Y

เราจะเริ่มพิสูจน์แล้วนะ  ลุยเลย!

พิจารณาความต้านทานรวมจากจุด 1 ไปยังจุด 2 ของแต่ละรูป ดังนี้

  •  สำหรับวงจรรูป Y ในรูป ข) จะได้

R_{12}(Y)=R_{1}+R_{3}                            (ตย 1.1)

  •  สำหรับวงจรรูป \Delta ในรูป ก) พบว่า มีความต้านทาน  R_{z} และ  R_{x} ต่อกันแบบอนุกรม โดยทั้งคู่ต่อแบบขนานกับ  R_{y} จึงได้  R_{12}(\Delta)=R_{y}||(R_{x}+R_{z}) ดังนี้

\Large{\frac{1}{R_{12}(\Delta)}}=\Large{\frac{1}{R_{y}}}+\Large{\frac{1}{R_{x}+R_{z}}}         (ตย 1.2)

จึงได้

R_{12}(\Delta)=\Large{\frac{R_{y}(R_{x}+R_{z})}{R_{x}+R_{y}+R_{z}}}=\Large{\frac{R_{y}R_{x}+R_{y}R_{z}}{R_{x}+R_{y}+R_{z}}}           (ตย 1.3)

จากสมการ(ตย1.1) และสมการ(ตย1.3) เนื่องจากทั้งคู่เป็นความต้านทานรวม R_{12} ในช่วงเดียวกัน จึงได้  R_{12}(Y)=R_{12}(\Delta) หรือ

R_{1}+R_{3}=\Large{\frac{R_{y}R_{x}+R_{y}R_{z}}{R_{x}+R_{y}+R_{z}}}                  (ตย1.4)

พิจารณาความต้านทานรวมจากจุด 1 ไปยังจุด 3 ของแต่ละรูป ดังนี้

  • สำหรับวงจรรูป Y ในรูป ข) จะได้

R_{13}(Y)=R_{1}+R_{2}          (ตย1.5)

  • สำหรับวงจรรูป \Delta ในรูป ก) พบว่า มีความต้านทาน R_{y} และ R_{x} ต่อกันแบบอนุกรม โดยทั้งคู่ต่อแบบขนานกับ R_{z} จึงได้  R_{13}(\Delta)=R_{z}||(R_{x}+R_{y}) ดังนี้

\Large{\frac{1}{R_{13}(\Delta)}}=\Large{\frac{1}{R_{z}}+\frac{1}{R_{x}+R_{y}}}            (ตย1.6)

จึงได้

R_{13}(\Delta)=\Large{\frac{R_{z}(R_{x}+R_{y})}{R_{x}+R_{y}+R_{z}}}=\Large{\frac{R_{z}R_{x}+R_{z}R_{y}}{R_{x}+R_{y}+R_{z}}}            (ตย1.7)

จากสมการ(ตย1.5) และสมการ(ตย1.7) เนื่องจากทั้งคู่เป็นความต้านทานรวม R_{13} ในช่วงเดียวกัน จึงได้ R_{13}(Y)=R_{13}(\Delta)  หรือ

R_{1}+R_{2}=\Large{\frac{R_{z}R_{x}+R_{z}R_{y}}{R_{x}+R_{y}+R_{z}}}                      (ตย1.8)

พิจารณาความต้านทานรวมจากจุด 3 ไปยังจุด 4 ของแต่ละรูป ในทำนองเดียวกันจะได้ R_{34}(Y)=R_{34}(\Delta) หรือ

R_{2}+R_{3}=\Large{\frac{R_{x}R_{y}+R_{x}R_{z}}{R_{x}+R_{y}+R_{z}}}         (ตย1.9)

นำสมการ(ตย1.4) ลบด้วยสมการ(ตย1.9) จะได้

R_{1}-R_{2}=\Large{\frac{R_{y}R_{z}+R_{x}R_{z}}{R_{x}+R_{y}+R_{z}}}             (ตย1.10)

นำสมการ(ตย1.8) บวกกับสมการ(ตย1.10) จะได้ สมการ(1) คือ

R_{1}=\Large{\frac{R_{y}R_{z}}{R_{x}+R_{y}+R_{z}}}\qquad\#               (1)

ข้อสังเกตุ R_{1} ถูกโอบล้อมหรือถูกขนาบด้วย R_{y} และ R_{z}

ตอบ

นำสมการ(ตย1.8) ลบด้วยสมการ(ตย1.10) จะได้ สมการ(2) คือ

R_{2}=\Large{\frac{R_{z}R_{x}}{R_{x}+R_{y}+R_{z}}}\qquad\#               (2)

ข้อสังเกตุ R_{2} ถูกโอบล้อมหรือถูกขนาบด้วย R_{z} และ R_{x}

ตอบ

นำสมการ(ตย1.9) ลบด้วยสมการ(2) จะได้ สมการ(3) คือ

R_{3}=\Large{\frac{R_{x}R_{y}}{R_{x}+R_{y}+R_{z}}}\qquad\#               (3)

ข้อสังเกตุ R_{3} ถูกโอบล้อมหรือถูกขนาบด้วย R_{x} และ R_{y}

ตอบ

การพิสูจน์เสร็จเรียบร้อยแล้วครับ ครั้งต่อไป จะยกตัวอย่างโดยการกำหนดค่าของความต้านทาน R_{x}, R_{y},R_{z} มาให้ครับ และจะคำนวณหาค่าความต้านทานที่ต้องการทราบค่าด้วย พบกันใหม่อีกไม่นาน

อย่าลืมท่องสูตรการแปลง \Delta ไปเป็น Y ตามสมการ(1), (2) และ (3) และดูรูปที่ 1 ประกอบด้วยนะครับ ว่าตัวต้านทานแต่ละตัววางอยู่ที่ตำแหน่งใดบ้าง ห้ามสลับตำแหน่งของตัวต้านทาน เด็ดขาด นะครับ เพราะจะทำให้สูตรทั้ง 3 ไม่จริง