Monthly Archives: July 2013

การแก้สมการเชิงเส้นหนึ่งตัวแปรเบื้องต้นในวิชา ฟิสิกส์ 1,2 สำหรับวิศวกร (ตอนที่ 1)

สวัสดีครับ นักศึกษา อาจารย์ทราบว่ามีนักศึกษาหลายคนนะครับที่จบ สาย ปวช และ ปวส มาเรียนต่อที่นี่ และจำเป็นต้องเรียนรายวิชา ฟิสิกส์ 1, 2 สำหรับวิศวกร  และแน่นอนครับรายวิชาทั้งสองจำเป็นต้องใช้คณิตศาสตร์เป็นภาษา เพื่อการพิสูจน์ อธิบาย ตอบโจทย์ปัญหา หรือ โจทย์คำถาม ทั้งในเชิงปริมาณและเชิงคุณภาพ ได้อย่างชัดเจน

จากประสบการณ์การสอนรายวิชาเหล่านี้มาหลายปี สิ่งที่พบสำหรับนักศึกษาชั้นปีที่ 1 คือ การแก้สมการคณิตศาสตร์ในรายวิชาฟิสิกส์ เพื่อหาค่าตัวแปรที่ต้องการทราบในโจทย์ฟิสิกส์ และมักปรากฏในรูปของ สมการเชิงเส้น สมการควอดราติก สมการตรีโกณมิติ สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลหรือ ลอการิธึม เป็นต้น เพื่อไม่เป็นการเสียเวลา เรามาเริ่มรู้จัก ตัวแปร  (variable) ที่ไม่ทราบค่าหรือต้องการหาค่าเลยครับ เรามักให้ตัวแปรเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ เช่น x,y,z เป็นต้น เช่น จากสมการ 2x-5= 20 สมการนี้ตัวแปรหรือตัวที่ยังไม่ทราบค่าก็คือ x เราต้องแก้สมการหาค่า x เพื่อให้สมการนี้เป็นจริง

หลักเบื้องต้นในการแก้สมการ

1. การย้ายข้างทั้งพจน์หรือทั้งเทอมหรือทั้งก้อน

สมการหนึ่งอาจมีพจน์อยู่ภายใน หลายพจน์ โดยเราต้องการย้ายพจน์นั้นๆทั้งพจน์ เมื่อมีการกระทำเช่นนี้ เช่นต้องการย้ายพจน์ของสมการจากที่เคยอยู่ข้างซ้ายไปยังข้างขวาของสมการ หรือตรงกันข้าม ให้ทำดังนี้ โดยพจน์ใดก็ตามที่ทำการย้ายข้างภายหลังเมื่อย้ายข้างเสร็จแล้วให้เปลี่ยนเครื่องหมายของพจน์นั้นเป็นชนิดตรงกันข้ามกับที่มันเคยเป็น

ตัวอย่างที่ 1  จากสมการ 2x+5=4x-3 จงหาค่าของ x

วิธีทำ โดยต้องการให้ตัวแปร x อยู่ทางด้านซ้ายของสมการ และให้ตัวเลขซึ่งเป็นค่าคงที่อยู่ทางด้านขวาของสมการ จึงจำเป็นต้องย้ายพจน์ต่างๆทั้งสองพจน์ คือ +5 จะถูกย้ายไปทางขวาของสมการ  และ 4x จะถูกย้ายไปทางซ้ายของสมการ ซึ่งทำได้ดังนี้

ก) ย้าย 4x  มาไว้ด้านซ้ายมือ ทำให้สมการเริ่มต้นกลายมาเป็น 2x-4x+5=-3

ข) ลำดับต่อมา ย้ายพจน์ +5 จากทางซ้ายของสมการ มาไว้ทางขวาของสมการ จึงได้ 2x-4x=-3-5

ค) ขั้นต่อมา รวมแต่ละพจน์ของแต่ละด้านของสมการเข้าด้วยกัน ดังนี้ จาก

\begin{aligned} 2x-4x & =-3-5\\ (2-4)x & =-8\\ -2x & =-8\\ x&=\frac{-8}{-2}\\ x&=4\end{aligned} 

ตอบ

ตัวอย่างที่ 2  จากสมการ 2x-5=4x-3 จงหาค่าของ x

วิธีทำเช่นเดียวกันกับตัวอย่างที่ 1  เราจะย้ายพจน์ของตัวแปร 4x มาไว้ทางด้านซ้ายของสมการ และย้ายค่าคงที่ -5 มาไว้ทางด้านขวาของสมการ เมื่อย้ายพจน์เสร็จก็ให้ใส่เครื่องหมายชนิดตรงกันข้ามกับที่มันเคยมีของด้านเดิม(ตอนที่ยังไม่ย้าย) กล่าวคือ จาก 4x เมื่อย้ายไปไว้ด้านซ้ายมือของสมการก็จะได้ -4x ดังนั้น และพจน์ -5 เมื่อย้ายไปไว้ด้านขวามือจะได้ +5 และเขียนสมการได้ใหม่เป็น

2x-4x=-3+5  แก้สมการนี้เพื่อหาค่า x ได้ดังนี้

\begin{aligned}2x-4x&=-3+5\\ (2-4)x&=2\\ -2x&=2\\ x&=\frac{2}{-2}\\ x&=-1\end{aligned} 

ตอบ

ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่า x จากสมการ 2x-5=-4x+3

วิธีทำ เราจะย้ายพจน์ -4x มาไว้ด้านซ้ายมือ และย้ายพจน์ -5 ไปไว้ด้านขวามือของสมการ และเมื่อย้ายเสร็จ พจน์ทั้งสองก็จะกลายเป็น +4x และ +5 ตามลำดับ และเขียนสมการที่โจทย์กำหนดให้ได้ใหม่เป็น

2x+4x=3+5  แก้สมการเพื่อหาค่า x ได้ดังนี้

\begin{aligned}2x+4x&=3+5\\ (2+4)x&=8\\ 6x&=8\\ x&=\frac{8}{6}\\x&=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}\end{aligned}

ตอบ

สรุป  เมื่อพจน์ใดของสมการถูกย้ายข้าง ภายหลังเมื่อย้ายเสร็จเครื่องหมายของพจน์นั้นจะถูกเปลี่ยนเป็นชนิดตรงกันข้ามกับที่มันเคยเป็น